Valore efficace (RMS): significato e dimostrazione

In ambito elettrico ed elettronico si fa spesso riferimento al valore efficace di una grandezza elettrica sia essa la corrente oppure la tensione. Chiunque si sia trovato a gestire grandi o piccoli progetti elettrici, per passione, studio o lavoro, si sarà sicuramente imbattuto in espressioni come “corrente efficace”, “tensione efficace” oppure sigle come “eff”, “rms”. Il concetto di valore efficace è utilizzato nella trattazione dei segnali periodici ovvero quando la grandezza elettrica di riferimento assume l’andamento che si ripete nel tempo ad ogni periodo di tempo. Un esempio particolare di segnale periodico è il segnale sinusoidale. Sono segnali sinusoidali tutti quelli, ad esempio, che riguardano l’alimentazione di rete. Il valore efficace (RMS) di una grandezza elettrica è tipicamente utilizzato dove, nell’ambito di un circuito in regime alternato, è necessario ed utile fare un confronto rapido con un circuito in regime di corrente continua.

In questo articolo verranno forniti e spiegati di concetti di base relativi al valore efficace, la derivazione matematica ed il significato. In ambito elettrico, così come in tantissimi altri ambiti, conoscere e capire il significato del gergo tecnico è fondamentale per poter comprendere al meglio il funzionamento atteso o previsto di un circuito e le relative specifiche da soddisfare.

Cosa si intende per valore efficace?

Si consideri una funzione periodica come la corrente / tensione alternata di rete. Il valore efficace è il valore che avrebbe un segnale costante per erogare la stessa potenza media del segnale periodico.

Consideriamo, ad esempio, un semplice circuito costituito da un generatore di tensione alternata ed un carico resistivo.

Circuito in alternata — Schema di un circuito in alternata con generatore e carico

La tensione alternata che attraversa il carico fa circolare una corrente anch’essa alternata che produce una dissipazione di potenza. Considerando infatti il carico resistivo, quando la tensione attraversa il carico, si genera una potenza (P = V*I) che verrà dissipata in calore per effetto Joule. Il valore efficace di una tensione alternata è il valore che avrebbe una tensione continua per produrre la stessa potenza media nello stesso circuito (sullo stesso carico).

Circuito in alternata e continua con valore efficace — Equivalenza di potenza tra circuito in alternata ed in continua

A partire dalla definizione stessa di valore efficace si comprende come questo sia uno strumento particolarmente utile quando, nell’analisi dei circuiti, occorre confrontare segnali in alternata (variabili nel periodo) e segnali in continua (costanti).

Definizione matematica di valore efficace (RMS)

Per definire il valore efficace occorre partire dal concetto di funzione periodica.

Una funzione periodica è una funzione che si ripete nel tempo ad intervalli definiti. Si definisce funzione periodica x(t) una funzione i cui valori nel tempo variano secondo l’equazione seguente.

$x(t) = x(t+ kT);$

dove T è chiamato periodo della funzione periodica ed indica il tempo minimo perché i valori della funzione si ripetano. Esempi di funzioni periodiche sono quelli mostrati nella figura seguente.

A partire da una generica funzione periodica si definiscono:

valore medio X_medio nel periodo T;
valore efficace X_eff, detto anche RMS (Root Mean Square).

Il valore medio di una funzione periodica x(t) nel periodo T è definito dalla seguente formula:

$<x(t)> = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}x(t)dt}$

Il valore medio è la media dei valori che può assumere la funzione in un periodo. La formula del valore medio equivale alla somma di tutti i valori della funzione nel periodo diviso il numero di istanti che compongono il periodo.

Il valore efficace X_eff di una funzione periodica x(t) è definito dalla seguente formula:

$X_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T}x^2(t)dt}$

La formula è esattamente il significato di RMS ovvero la radice quadrata (root) della media (mean) del quadrato (square) della funzione periodica x(t). In altre parole, per ottenere il valore efficace di una funzione periodica occorre considerare dapprima il quadrato della funzione periodica (che sarà sempre una funzione positiva), calcolare la media sul periodo ed infine farne la radice quadrata.

Il significato del valore efficace risiede nella relazione che sussiste tra valore medio e valore efficace di una funzione periodica. Si ha che il valore medio del quadrato della funzione periodica è uguale al quadrato del valore efficace della stessa funzione periodica, come mostrato dalla formula seguente.

$<x^2(t)> = X_{eff}^2$

La potenza media dissipata da un circuito in alternata è la stessa che si avrebbe in un circuito in continua con corrente pari alla corrente efficace (a parità di carico). La potenza media (P_media)in un circuito in alternata può essere espressa dalla seguente relazione:

$P_{media} = I_{eff}^2 Z_i = \frac{V_{eff}^2}{Z_i}$

Valore medio e valore efficace di una funzione periodica non dipendono dal tempo ma sono semplicemente uno scalare. Il valore efficace è sempre un valore maggiore oppure uguale al valore medio.

Dimostrazione valore efficace (RMS) di una funzione sinusoidale

Si consideri una sinusoide come, ad esempio, la funzione seno s(t). La sinusoide è una funzione continua e periodica nel tempo ovvero è un segnale la cui ampiezza varia in un intervallo di tempo detto periodo e si ripete sempre nella stessa maniera. L’andamento della funzione s(t) è rappresentato nel grafico seguente.

La sinuoside s(t) è descritta dalla seguente funzione sinusoide

$s(t) = S_{max} * sin(\omega t)$

dove

S_max : ampiezza ovvero il massimo valore di s(t) in un periodo

ω : velocità angolare

La velocità angolare è funzione della frequenza a cui la funzione di ripete e può essere a sua volta descritta in funzione del periodo T poiché rappresenta il numero di periodi in un intervallo di tempo pari a 2π.

$\omega = \frac{2 \pi}{T}$

Andando a sostituire la formula della velocità angolare ω all’interno della funzione s(t), otteniamo quanto segue.

$s(t) = S_{max} * sin(\frac{2 \pi}{T} t)$

Vediamo ora come calcolare il valore efficace di una funzione sinusoidale quale s(t).

Sostituiamo, all’interno dell’espressione matematica del valore efficace, l’espressione generica della funzione periodica x(t) con la funzione s(t).

(1) $\begin{equation*} S_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T}{ S_{max}^2 * sin^2(\frac{2 \pi}{T} t) dt}} \end{equation*}$

Il quadrato del valore di picco S_max non varia rispetto a t e quindi possiamo portarlo fuori dall’integrale.

(2) $\begin{equation*} S_{eff} = \sqrt{\frac{S_{max}^2}{T} \int_{0}^{T}{sin^2(\frac{2 \pi}{T} t) dt}} \end{equation*}$

A questo punto possiamo sostituire il quadrato del seno con la relativa espressione presa dalle identità trigonometriche e mostrata di seguito.

(3) $\begin{equation*} sin^2(\alpha) = \frac{1-cos(2\alpha)}{2} \end{equation*}$

Sostituiamo la formula in (3) all’interno dell’equazione (2).

(4) $\begin{equation*} S_{eff}=\sqrt{\frac{S_{max}^2}{2T}\int_{0}^{T}{(1-cos(\frac{4\pi}{T}t))dt}} \end{equation*}$

Risolviamo l’integrale tenendo presente che:

(5) $\begin{equation*} \int_{0}^{T}{ dt} } = T \end{equation*}$

e che:

(6) $\begin{equation*} \int_{0}^{T}{cos(\frac{4\pi}{T}t) dt} = \frac{T}{4\pi}[sin(4\pi)-sin(0)] \end{equation*}$

risulta:

(7) $\begin{equation*} \int_{0}^{T}{ (1-cos(\frac{4\pi}{T}t)) dt} } = T \end{equation*}$

Infine andiamo a sostituire la (7) nella (4). Ne deriva che la formula del valore efficace (valore RMS) di una funzione sinusoidale è la seguente:

$S_{eff} = \frac{S_{max}}{\sqrt{2}}$

Il valore efficace di una funzione sinusoidale è quindi pari a 0,7071 volte l’ampiezza del segnale.

Quando si utilizza il valore efficace?

Il valore efficace di una funzione periodica si utilizza per poter confrontare agilmente la potenza erogata da un circuito in alternata con quella in un circuito in continua. Il contenuto di energia di un segnale periodico varia nel tempo poiché la stessa funzione periodica varia. In questo contesto riferirsi al valore efficace facilita il paragone tra la potenze di circuiti con sorgenti diverse.

Nella pratica, in tutti i contesti in cui è presente un segnale in alternata, ci si riferisce sempre, per convenzione, al valore efficace di quel segnale. Ad esempio sappiamo che nella nostra rete elettrica residenziale viene fornita una tensione di 230 V. Questi 230 Volt sono il valore efficace della tensione. Se ne deduce che la tensione di alimentazione residenziale fornita dal distributore di energia elettrica è un segnale sinusoidale con ampiezza di circa 325 V (230*0,7071), frequenza di 50 Hz e valore efficace di 230 V.

Tutti gli strumenti di misura in ambito elettrico che analizzano segnali in alternata forniscono sempre il valore efficace del segnale. In tutte le norme tecniche, anche laddove non specificato, quando ci si riferisce a segnali in alternata, il valore che viene indicato è sempre un valore efficace.